Tropicalizing the simplex algorithm

We develop a tropical analog of the simplex algorithm for linear programming. In particular, we obtain a combinatorial algorithm to perform one tropical pivoting step, including the computation of reduced costs, in O(n(m+n)) time, where m is the number of constraints and n is the dimension.Comment: v1: 35 pages, 7 figures, 4 algorithms; v2: improved presentation, 39 pages, 9 figures, 4 algorithm

Couplage des méthodes d'agrégation dynamique de contraintes et de stabilisation pour résoudre le problème d'horaires de véhicules avec dépôts multiples.

Résumé La méthode de génération de colonnes est très utilisée pour résoudre des problèmes de programmation linéaire. Cependant elle présente des faiblesses face aux effets de la dégénéréscence rencontrée sur certains problèmes de grande taille. Plusieurs approches ont été proposées pour contrer ses effets négatifs, en particulier l'agrégation dynamique de contraintes et la stabilisation des variables duales. Ce travail propose une méthode permettant de coupler ces deux approches pour les problèmes de partitionnement d'ensemble afin de tirer parti de leurs effets combinés. La dégénéréscence apparaît lorsque le polytope des solutions réalisables contient des points extrêmes associées à plusieurs bases, ou de manière équivalente lorsque des solutions basiques contiennent des variables en base nulles. L'idée de l'agrégation dynamique de contraintes est de travailler avec une restriction du problème original qui comporte moins de contraintes. En conséquence, la taille des bases est réduite ainsi que le nombre de variables de base nulles. Cependant, la réduction du nombre de contraintes entraîne une perte d'information duale. Une des difficultés majeures de cette méthode est de désagréger l'information duale partielle disponible afin d'obtenir une solution duale au problème original. Elhallaoui et al. (2005) montrent que pour les problèmes de partitionnement d'ensemble, il est possible d'effectuer cette opération en résolvant un problème de plus court chemin. La méthode de stabilisation des variables duales propose quant à elle de pénaliser une grande partie de l'espace dual. Comme chaque base est associée à une solution duale, on évite ainsi l'exploration des bases les plus pénalisées. Cependant, le problème ainsi « stabilisé » est une relaxation du problème original. Pour résoudre ce dernier à l'optimalité, il faut résoudre une suite de problèmes stabilisés. Coupler les méthodes d'agrégation dynamique de contraintes et de stabilisation des variables duales revient à réduire le nombre de contraintes des problèmes stabilisés. Malheureusement, l'information duale ainsi obtenue est partielle non seulement pour les contraintes du problème original, mais aussi pour la pénalité. Dans ce travail, nous montrons comment désagréger l'information duale par la résolution d'un problème de plus court chemin pour les problèmes de partitionnement d'ensemble stabilisés . Cette nouvelle méthode est appliquée au problème d'horaires de véhicules avec dépôts multiples (MDVSP). C'est un problème de partitionnement d'ensemble auquel s'ajoutent des contraintes supplémentaires limitant le nombre de véhicules disponibles par dépôt. La taille des instances utilisées varie entre 500 et 3000 tâches. On obtient une réduction des temps de calcul d'un facteur d'environ 2 pour la résolution de la relaxation linéaire sur les instances de grande taille.----------Abstract Column generation is a widely used method for solving linear programming problems. It is very efficient but shows some weaknesses when faced with highly degenerate problems. Stabilization of dual variables and dynamic constraint aggregation are two examples of approaches used to damp the effects of degeneracy. This work shows how two combine the strength of both for set-partitioning problems. Degeneracy occurs when the polyhedron of feasible solutions contains degenerate extreme points. An extreme point is degenerate when it can be described by multiple basis, which means that these basic solutions contain basic variables with zero value. The idea behind dynamic constraint aggregation is to use a restricted problem with fewer constraints. Thus the size of the basis is reduced along with the number of zero variables. However some dual information is lost when reducing the number of constraints. The challenge of this method is to desaggregate the partial dual information and compute a dual solution for the original problem. For set-partitioning problems, Elhallaoui et al. (2005) shows that this computation can be done by solving a shortest-path problem. Dual variables stabilization consists of penalizing most of the dual space. Since every basis is associated with a dual solution, this amounts to prevent the exploration of most penalized basis. Yet such a “stabilized” problem is a relaxation of the original one. In order to find an optimal solution, a sequence of stabilized problems needs to be solved. Stabilization and dynamic constraint aggregation are brought together by reducing the number of constraints of stabilized problems. Unfortunately, this yields to partial dual information not only for the removed constraints, but also for penalty values. In this work, we show how to disaggregate dual information by solving a shortest-path problem for stabilized set-partitioning problems. This new method is applied to the multiple depot vehicle scheduling problem (MDVSP). It is a set-partitioning problem with side constraints that limit the number of vehicles used from each depot. Experiments were conducted on randomly generated instances which sizes range between 500 and 3000 tasks. Results show a reduction of computational times by a factor 2 approximately for large instances

Combinatorial simplex algorithms can solve mean payoff games

A combinatorial simplex algorithm is an instance of the simplex method in which the pivoting depends on combinatorial data only. We show that any algorithm of this kind admits a tropical analogue which can be used to solve mean payoff games. Moreover, any combinatorial simplex algorithm with a strongly polynomial complexity (the existence of such an algorithm is open) would provide in this way a strongly polynomial algorithm solving mean payoff games. Mean payoff games are known to be in NP and co-NP; whether they can be solved in polynomial time is an open problem. Our algorithm relies on a tropical implementation of the simplex method over a real closed field of Hahn series. One of the key ingredients is a new scheme for symbolic perturbation which allows us to lift an arbitrary mean payoff game instance into a non-degenerate linear program over Hahn series.Comment: v1: 15 pages, 3 figures; v2: improved presentation, introduction expanded, 18 pages, 3 figure

Aspects tropicaux de la programmation linéaire

In this thesis, we present new results on the complexity of classical linear programming on the one hand, and of tropical linear programming and mean payoff games on the other hand.Our contributions lie in the study of the interplay between these two problems provided by the dequantization process. This process tranforms classical linear programs into linear programs over tropical semirings, such as the $\R \cup\{ -\infty\}$ endowed with $\max$ as addition and $+$ as muliplication. Concerning classical linear programming, our first contribution is a tropicalization of the simplex method. More precisely, we describe an implementation of the simplex method that, under genericity conditions, solves a linear program over an ordered field. Our implementation uses only the restricted information provided by the valuation map, which corresponds to the ``orders of magnitude'' of the input. Using this approach, we exhibit a class of classical linear programs over the real numbers on which the simplex method, with any pivoting rule, performs a number of iterations which is polynomial in the input size of the problem. In particular, this implies that the corresponding polyhedra have a diameter which is polynomial in the input size.Our second contribution concerns interior point methods for classical linear programming. We disprove the continuous analog of the Hirsch conjecture proposed by Deza, Terlaky and Zinchenko, by constructing a family of linear programs with $3r + 4$ inequalities indimension $2r + 2$ where the central path has a total curvature which is exponential in $r$. We also point out suprising features of the tropicalization of the central path. For example it has a purely geometric description, while the classical central path depends on the algebraic representation of a linear program. Moreover, the tropical central path may lie on the boundary ofthe tropicalization of the feasible set, and may even coincide with a path of the tropical simplex method.Concerning tropical linear programming and mean payoff games, our main result is a new procedure to solve these problems based on the tropicalization of the simplex method. The latter readily applies to tropical linear programs satisfying genericity conditions. In order to solve arbitrary problems, we devise a new perturbation scheme. Our key tool is to use tropical semirings based on additive groups of vectors ordered lexicographically.Then, we transfer complexity results from classical to tropical linear programming. We show that the existence of a polynomial-time pivoting rule for the classical simplex method, satisfying additional assumptions, would provide a polynomial algorithm for tropical linear programming and thus for mean payoff games. By transferring the analysis of the shadow-vertex rule of Adler, Karp and Shamir, we also obtain the first algorithm that solves mean payoff games in polynomial time on average, assuming the distribution of the games satisfies a symmetry property. We establish tropical counterparts of the notions of basic points and edges of a polyhedron. This yields a geometric interpretation of the tropicalization of the simplex method. As in the classical case, the tropical algorithm pivots on the graph of an arrangement of hyperplanes associated to a tropical polyhedron. This interpretation is based on a geometric connection between the cells of an arrangement of classical hyperplanes and their tropicalization.Building up on this geometric interpretation, we present algorithmic refinements of the tropical pivoting operation. We show that pivoting along an edge of a tropical polyhedron defined by $m$ inequalities in dimension $n$ can be done in time $O(n(m+n))$, a complexity similar to the classical pivoting operation. We also show that the computation of reduced costs can be done tropically in time $O(n(m+n))$.Cette thèse présente de nouveaux résultats de complexité concernant d'un côté la programmation linéaire classique, et de l'autre la programmation linéaire tropicale, cette dernière étant reliée aux jeux répétés. Les contributions proviennent de l'étude du processus de déquantisation qui relie ces deux problèmes. La déquantisation transforme les programmes linéaires classiques en programmes linéaires sur des semi-anneaux tropicaux, comme l'ensemble $\R \cup \{ - \infty \}$ muni de $\max$ en tant qu'addition, et de $+$ en tant que multiplication.Concernant la complexité de la programmation linéaire, notre première contribution est la tropicalisation de la méthode du simplexe. Plus précisément, nous décrivons une implémentation de la méthode du simplexe qui, sous des conditions de généricité, résoud un programme linéaire sur un corps ordonné. Cette implémentation utilise seulement l'information partielle donnée par la valuation, ce qui correspond aux ``ordres de grandeur'' des coefficients du problème. Cette approche permet de construire une classe de programmes linéaires réels sur lesquels la méthode du simplexe termine en un nombre d'itérations qui est polynomial en la taille de l'encodage binaire du problème, et ce indépendamment du choix de la régle de pivotage. Notre deuxième contribution concerne les méthodes de points intérieurs pour la programmation linéaire classique. Nous réfutons l'analogue continu de la conjecture de Hirsch proposé par Deza, Terlaky et Zinchenko, en construisant une famille de programmes linéaires décrits par $3r+4$ inégalités sur $2r+2$ variables pour lesquels le chemin central a une courbure totale qui est exponentielle en $r$. La tropicalisation du chemin central présente des propriétés inattendues. Par exemple, le chemin central tropical peut être décrit de manière purement géométrique, alors que de manière classique le chemin central dépend de la représentation des contraintes. De plus, le chemin central tropical peut rencontrer la frontière de la tropicalisation de l'ensemble réalisable, et peut même co\"incider avec un chemin suivi par la méthode du simplexe tropical.Concernant la programmation linéaire tropicale et les jeux répétés, notre résultat principal est une nouvelle méthode pour résoudre ces problèmes, basée sur la tropicalisation de la méthode du simplexe. Cette dernière résoud directement les programmes linéaires tropicaux satisfaisant des conditions de généricités. Afin de résoudre les problèmes ne satisfaisant pas ces conditions, une technique de perturbation est utilisée. L'idée principale est d'utiliser des semi-anneaux tropicaux basés sur des groupes de vecteurs ordonnées lexicographiquement.Nous transférons des résultats de complexité de la programmation linéaire classique vers la programmation linéaire tropicale. Nous montrons que l'existence d'une règle de pivotage polynomiale pour la méthode du simplexe classique fournirai un algorithme polynomial pour la programmation linéaire tropicale, et donc pour les jeux répétés. En transférant l'analyse de Adler, Karp et Shamir de la régle de pivotage dite du ``shadow-vertex'', nous obtenons le premier algorithme qui résoud les jeux répétés en temps polynomial en moyenne, en supposant que la distribution des jeux satisfait une propriété d'invariance.Nous établissons une correspondance géométrique entre les cellules d'un arrangement d'hyperplans classiques et leur tropicalisation. Ceci donne une interprétation géométrique à la tropicalisation de la méthode du simplexe. Comme dans le cas classique, l'algorithme tropical pivote sur le graphe d'un arrangement d'hyperplans associé au polyèdre. Ce point de vue géométrique nous permet d'établir des raffinements algorithmiques de l'opération de pivotage tropical. Nous présentons un algorithme qui pivote le long d'une arête d'un polyèdre tropical défini par $m$ inégalités en dimension $n$ en temps $O(n(m+n))$. Nous montrons aussi que le calcul des signes des coûts réduits peut se faire tropicalement en temps $O(n(m+n))

A Multi-Criteria Multi-Modal Predictive Trip Planner: Application on Paris Metropolitan Network

International audiencePublic transport route planning is of growing interest in smart cities and especially in metropolitan areas where congestions and traffic jams are frequently recorded. The availability of multiple data sources, such as passenger load in trains or ticketing logs, provides an interesting opportunity to develop decision support tools to help passengers better plan their trips around the city and to enhance their travel experience. We present, in this paper, a multi-criteria journey planner that incorporates train load predictions as criteria. To this end, on the one hand, we enrich the proposed routes with predictive indicators of passenger flow such as the load on board the trains. These indicators are computed for each section of the itinerary using machine learning algorithms. On the other hand, we design a journey planner that incorporates the predicted load in its search criteria

Tropicalizing Semialgebraic Pivoting Rules, Or How to Solve Mean Payoff Games in Polynomial Time on Average

Minisymposia "Complexity Issues in Control Computation and Max-Plus Methods"International audienceWe introduce an algorithm which solves mean payoff games in polynomial time on average, assuming the distribution of the games satisfies a flip invariance property on the set of actions associated with every state. The algorithm is a tropical analogue of the shadow-vertex simplex algorithm, which solves mean payoff games via linear feasibility problems over the tropical semiring. The proof relies on the observation that certain semi-algebraic pivoting rules can be tropicalized